[教学探索]“全时空”数学实验室的建构：有力支撑深度学习

张缅

摘要：小学生以形象思维为主，对数学知识的理解、判断、推理在很大程度上凭借直观经验。在小学引入“数学实验室”教学方式，能够让学生在实验活动中寻找数学规律，探索新知、培养能力、发展思维。创新建设“专用数学实验室”“班级数学实验室”“家庭数学实验室”三位一体的数学实验室，为学生深度学习提供有力支撑。通过实验的“做”，让学生积极主动地投入到对问题的探究中，使思维不断深化，最终通往自发的创造。

关键词：数学实验室;动手操作;深度学习

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）10A-0075-05

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”[1]，明确了“动手实践也是数学学习的一种重要方式”[2]，认为“有条件的学校可以建立‘数学实验室供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培養他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神，促进不同的学生在数学上得到不同的发展。”[3]著名数学家弗赖登塔尔在20世纪就曾预言：“要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同方式组织教学，否则是不可能的，它要求有个实验室，学生可以在那里个别活动或是小组活动。”[4]基于小学生的思维水平处于直觉经验阶段，对概念的理解、判断、推理在很大程度上离不开直观形象的支撑，因此在小学开展数学实验室教学活动，能够让学生所研究的数学问题“可视”，从中获得数、形的观念，逐步对其适度抽象，进行更高层次上的“再实验”或“再创造”，有利于揭示和概括知识的内在规律，实现知识的自我建构，加深对知识的理解，形成理性思维的习惯。

一、专用数学实验室：指向深度自主的学习平台

数学实验室是让学生借助于一定的实物工具或技术手段，并在数学思维和数学思想的指导下，进行数学化操作的专有教室。实践和探究是数学实验的重要特征，也是学习方式转变的新要求，从实践与探究的过程看，数学实验就是一个新型的“课堂”，它依据数学学科的特点，注重学科内容的呈现方式，形成开放、创新、互动的教学新载体。

1.数学实验的方式改变思维的方式

苏霍姆林斯基说过，“孩子的智慧长在手指上”[5]，心理学家皮亚杰也有同样的观点：“智慧的花是开放在手指尖上的，抽象的思维源于动作，孩子学习数学是在摆弄实物中学习的”[6]。照本宣科地讲数学，势必造成学生只关注问题的结果，而在操作中探究数学，会引导学生关注知识形成的过程。“数学实验室”最大的特点就是能给学生创设“做”的场景，让学生在“玩中学、做中学、错中学”，体验知识生长的原因、过程、结果;形成遇到问题能有通过动手实验的方式主动探究的意识。

笔者在六年级选择两个学习成绩相近的班级，针对《认识体积》这节课进行“同课异法”的比对实验。在六（1）班采用“实验教学法”，为学生准备了充足的实验工具，以小组合作的形式，用实验自主探究体积的概念。在六（2）班，教师以讲授为主，需要实验的内容用PPT演示代替。课后对两个班级的学生做了随堂测试，第一题考查概念识记：“什么是物体体积？”第二题考查解决问题能力：“你能比较一个西红柿和一根黄瓜的体积大小吗？如果能，请说说想法。”测试结果显示，第一题两个班的正确率接近，而第二题的测试结果却大不相同：六（1）班有95%的学生设计了不同实验方案解决问题，有“溢水法”“上涨法”“比较剩水法”“连续倒水法”等，均对实验工具、实验步骤合理安排并表达得较为清晰具体;六（2）班有80%的学生画图解释，20%的学生用文字描述，却没有学生提出实验方案，都是凭借主观臆想答题，其中有8名学生的答案明显不符合实际。通过课堂比对实验，可以清楚地看出采用数学实验方式教学的学生，当他们再次遇到比较两个物体体积的问题时，会不约而同地想到通过实验用科学的方式寻找答案，并能够多维度地思考解决问题的策略。

2.数学实验的方式让学习走向深度

“数学实验室”将现代技术手段、最新的材料运用到教学中，特别是将学生学习的重难点内容通过建立直观的、动态的、生成的结构模型，帮助学生深度学习数学。

比如教学苏教版小学数学五年级上册《钉子板上的多边形》一课时，实验室为学生提供了充足的实物学具，有层次地引领学生通过操作、实践，自主经历“观察—猜想—验证—结论”的探究过程。更值得一提的是，实验室还为学生每人提供一台平板电脑以及相应的软件支持。通过软件虚拟钉板实验，不仅能及时记录每个学生的每次作品，还能同屏展示不同学生的作品，让大家在纵向、横向的反复交错对比中，发现规律主动建模。电脑的动态演示功能既可以连贯展示钉子板的间断性变化，也能变静态图片展示为动态操作展示，促进师生互动、生生互教互学。这样的学习方式将逻辑思维的过程视觉化、形象化，在激发学生学习积极性的同时，促进学生不断自我反思与调节，最终通往自发的创造。

3.数学实验室的文化氛围激发主动探索

数学实验室，为学生提供了一个感受、体验数学的最佳活动场所，其硬件建设应突出课程要求，体现课程意识、特点和质感。数学实验室因其学科特点又是一个传播数学文化的场所，其环境建设要充满浓郁的数学文化氛围。

如室内百叶窗的内外两面图案蕴含正负、大小、多少等具有相反关系数学概念;地板图案体现密铺原理;灯的造型采用不同的几何体;钟的设计包含方向、角度等数学创意;桌椅采用七巧板造型，可以任意组合，让学生分组的过程成为创意拼搭的过程;天花板上投射的光束形成可变换的图案，有大自然中符合斐波拉契数列的神奇现象，比如向日葵、菠萝的生长方式，还有大自然中的分形几何，比如雪花分形、瀑布分形……不仅展示数学之美，也揭示世界的本质，让学生用数学的方式理解自然的奥秘。同时，室外的数学长廊墙壁上镶嵌着大型触摸式液晶显示屏，滚动显示苏教版12册所有“你知道吗？”部分的内容，局部播放的动画可以通过触摸实现语音介绍功能，让数学文化触手可及。实验室的展示区有几何模型、实物教具，还有鲁班锁、九连环、华容道等益智玩具;阅读区有大量的经典数学书籍，如《数学花园漫游记》《全世界孩子都爱玩的700个数学游戏》《走进其妙的几何世界》等。走进实验室，数学不再是一堆枯燥的公式，而是变得生动有趣、充满魅力。浓浓的数学文化氛围激发着学生用数学的眼光看待生活，用数学的思维思考世界。

二、班级数学实验室：指向同伴互助的学习平台

当数学实验以其鲜明的实践性和探索性成为研究学习的重要方式时，仅一间专用数学实验室，已经不能满足大量班级同时开展实验学习的需求。数学实验室要更加有力地支撑深度学习，就要在时空和场域上不断拓展和延伸。于是学校建设了“班级数学实验室”，将“实验室”的概念渗透到每个教学班级，鼓励学生之间同伴互助，让实验成为习惯。

1.设置班级实验台、实验墙，适时实验与分享

班级设置的实验台，为学生提供随时实验的环境。学生利用课余时间，或独立或合作，但都是依靠对问题本身探究的内在兴趣，自发开展数学实验。遇到不懂的问题，他们不再凭空想象或急于向人求助，而是通过操作，亲身经历知识生长的全过程。比如，三年级学习《千克与克》时，学生自发在实验台用弹簧秤、小台秤称水果、课本、书包、铅笔屑、铅芯……反复体验两种单位重量;四年级学习《三角形的稳定性》时，课后学生在实验台用活动棒制作三角形和四边形框架，在实践中对比两种图形的特性;六年级学习《表面积的变化》时，由于学生缺乏直观经验，普遍表现出畏难情绪，于是他们在实验台通过切长方体黏土，“看见”了原本“看不见”的面，抓住了变与不变的关系……

另外，教师在教室黑板报上划出区域布置实验墙，鼓励学生将实验的心得体会以及发现的规律及时上墙与同学分享，让学生教会学生。这样的分享式学习，让学生在主动探究中学会了团队协作，共同克服困难、解决问题。

2.开发班级实验工具箱，让智慧漂流起来

数学是一门抽象的学科，很多数学知识需要借助一定的工具，通过实践操作才能获得深度理解。以班级为单位开展的数学实验工具创作活动，鼓励学生针对难以理解或是感兴趣的数学知识，自己设计、制作实验工具，逐渐形成了“班级实验工具箱”。这不仅增强了学生的动手能力，更加深化了学生对数学知识的感悟，激发创新能力。比如四年级学生在学习“怎样滚得远”一课后，感到现有实验器材操作不便，且实验结果误差较大，于是整合了木板、绒布、软尺粘等工具，再配上玩具小车作为滚动物体，自制了一套既便于操作又新颖有趣的实验工具。

“班级实验工具箱”凝聚了全班同学的智慧，具有较高的思维含量，仅在一个班级里交流难免资源浪费。为了提高工具的使用率，年级组可以制定漂流计划，各班每月按计划互换实验箱，并选派代表把本班优秀作品的设计理念、探索过程、实验心得互相传递，让工具漂流起来，更让智慧漂流起来。

3.开设数学实验相关课程，提升高阶思维水平

把“做实验”纳入课程开发层面去思考，依托国家课程标准，以发展学生核心素养为目标，研发相应的数学实验课，班级数学实验室的研究才有了根，才能突破场域限制，关注实验经验的积累、实验素养的形成，聚焦数学实验室最本质的意义。

（1）充分挖掘数学教材中可实验元素。苏教版教材中很多教学内容都需要学生通过动手操作才能主动建构知识体系。数学课堂教学要重视学生动手实践意识和能力的培养，凡是需要操作的内容，都应精心指导学生操作。比如教师在教学《三角形内角和》一课时，逐步优化方法，引导学生用量、撕、折等多种方法验证“结论”，重点强调：撕拼时，将一个角一条边先对准直线，然后另外两个角依次边对边、顶点对顶点拼合，看第三个角能否与直线重合;折拼时，找到交点边才能完全贴合，因为这样折更准确。指导學生用科学的方法操作，合理降低或避免误差，提高实验结果的信度，让验证有意义，从而形成科学的实验素养。

（2）开发校本化实验课程。数学实验课程通过数学实验的方式激发学生主动探索知识，全身心地投入研究，积累大量活动经验，从而增强问题意识和创新意识。课程内容分两个体系：一是基于某个教学内容的相关知识拓展。如根据苏教版“长方形面积”一课，可编写关于长方形面积与周长关系的拓展性实验课，用指定个数的单位面积小正方形，摆出不同形状的长方形，探索面积不变的情况下，周长的变化规律。在层层递进的操作和研究中，培养学生的空间观念。二是基于经典数学游戏的数学综合实践课。比如“汉诺塔的数学研究”一课，不仅让学生了解汉诺塔的起源、游戏规则，学会基本玩法，更能通过观察与实验、类比与猜测、推理与验证等数学活动探索汉诺塔盘数和步数之间的关系，形成数学公式并建立模型。学生在玩中做、玩中学，被激发了深刻的数学思考，形成积极的数学学习情感。

数学实验课让学生在不断的尝试和挑战中理解与批判、联系与建构、迁移与应用，着眼于提升学生思维品质。探索的过程就是思维不断深化的过程，最终向高阶思维发展。

三、家庭数学实验室：指向亲子探究的学习平台

家长是孩子最好的老师和玩伴。学校将“玩中学、做中学”的理念推荐给家长，引导建立“家庭数学实验室”。一方面，那些课堂上没时间、空间探索的数学知识有了一个更宽松的探究平台;另一方面，也让亲子互动的品质得到了有效提升。

1.学习时空的拓展，让感悟更深刻

学校数学实验基本是有目的、有指导地借助对工具、材料的操作探索数学知识、验证数学猜想、得出数学结论。而生活中存在大量的数学现象，如果用数学的眼光看待生活，理性地思考、科学地分析，那么数学实验随处都能发生。同时，这样的实验内容是学生主动发现的，是随机生成的，实验时间自由灵活，形式是丰富多样的。因此学校有必要将“数学实验”的理念传递给家长，并让家长了解孩子在不同年龄阶段所应掌握的数学知识和应形成的数学能力。这样，家长就有可能有的放矢地引导孩子在生活中发现数学、研究数学，用数学知识指导生活、服务生活。

比如低年级在餐厅、家中、小区里发现了很多“一一间隔”的现象时，家长有充足的时间带着孩子去观察、拍照记录。面对大量照片上不同物体的“一一间隔”，学生发现了共同特征，明白了什么是“一一间隔”，也看到了不同：两端物体有时一样有时不一样。于是学生把照片分类，经历看、数、算一系列过程，得出：两端物体相同，两种物体个数相差一个;两端物体不同，两种物体个数相同的规律。学生将得到的规律用在生活里，用两种珠子给妈妈穿项链，发现原本“一一间隔”的珠子因为两端相同围成项链后居然不“一一间隔”了，在封闭图形里“一一间隔”的特征又发生了变化。整个探索过程完全是在不经意间自发生成的，学生在家长指导下通过反复实验，不断对比、迁移、反思，不仅对“一一间隔”的特征及其规律彻底内化，思维能力也得到极大的提升，有助于形象地理解、掌握三年级的《一一间隔排列》一课的知识点。这正是“家庭数学实验室”的魅力所在，它润物细无声地为学生学习数学知识埋下一颗种子。

2.学习内容的延伸，让思维更深刻

“家庭数学实验室”是课内知识延伸的一个平台。很多数学知识在课堂教学中因为时间不够、材料不足、场地局促等原因，不能充分探索，而且学生原有知识水平以及思维能力的差异也限制了整体的发展。这时“家庭数学实验”就可以发挥出它“私人订制”的功能，给学生充足的时间、个性化的工具，让他们按照自己对知识的理解进行不同层次的探索。这正体现了数学课标的精神：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

个性化的“家庭数学实验”也反过来促进课内的再学习。比如在教学五年级的《梯形的面积》一课时，课堂上只探索了梯形面积公式的一种最基本的证明方法：用两个完全一样的梯形转化成一个等底等高的平行四边形。然而很多学生的思维不满足于此，于是他们开展“家庭实验”，通过画、剪、拼等，用多种方法证明了“梯形面积=（上底+下底）×高÷2”。教师随后收集学生的个性化证明方法，围绕“你把梯形转化成了什么图形？转化后的图形与梯形有什么关系？你是怎样推导梯形面积计算公式的？”三个问题，组织学生进行再思考。学生经历了展示、观察、对比、操作、推理等活动，归纳出证明方法分三类：分割、补足、割补，但不论哪种方法都体现“转化”的数学思想。

依托“家庭数学实验室”，不同層次的学生都能够积极主动地参与研究，研究成果的“再交流”“再思考”促进了学生知识整合、意义联接，高度发展学生的批判性思维，实现思维的进阶。

3.学习领域的拓宽，让能力更多元

数学学习不仅强调“所知”，更着重“所为”。“家庭数学实验室”正是给学生提供一个宽广的探究平台，让他们将学到的数学知识通过实验的方式应用在自己感兴趣的领域;在真实、复杂的情境中进行思考、判断，解决复杂问题，实现自发的创造。

比如有学生喜爱绘画和服装设计，那么家长可以引导孩子将数学元素融入服装设计里，用数学知识指导设计。通过提高腰线，改变身长和腿长的比例，拉出大长腿;通过增加肩宽、大摆，突出腰细，由H身材改造成X身材。通过家庭实验，学生感受到：如果不是亲身参与，真不敢相信服装设计中居然蕴含着无数的数学理念——黄金分割、轴对称、三角形、梯形……服装设计虽然千变万化，却终究离不开点、线、面等几何形态，也离不开由数列形成的服装分割及比例关系。用数学逻辑设计的服装造型，既有直接明确的理性，又富有逻辑的节奏美感。

“数学实验”让学生看到数学建造过程的脚手架，而不是简单的现成品;“数学实验室”让课程更加贴近儿童，探索儿童的学习历程;“数学实验室”的教学让学生更能体验到数学学习的快乐，享受数学发现的乐趣。“专用数学实验室”“班级数学实验室”“家庭数学实验室”互为补充各有侧重，形成全时空、全场域的数学实验室，为学生深度学习提供有力支撑。通过数学实验，学生体会到数学与生活的联系，学会了自主探索、学会了与伙伴的合作交流，好奇心、责任感、学习力都得到了增进，从而积极地、广泛地、有远见地追寻有意义的学习。

参考文献：

[1][2][3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社， 2011：2-3，43，71.

[4]黄慧章.巧设问题 引发思考 让数学课堂灵动起来——在“弗赖登塔尔的数学教育思想”指导下的数学课堂[J].新课程， 2014（2）：79-81.

[5]孙孔懿.苏霍姆林斯基教育学的创新精神与理论特色[J].中国教育学， 2019（3）：26-27.

[6]许中丽.教学的策略研究[J].中小学教师培训， 2015（3）：40-44.

责任编辑：李韦

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