关于代数不等式证明方法的应用分析

宁剑茵 马红兰

摘 要 代数不等式证明在数学中有重要地位，具有题型多样、方法多变，技巧性强等特点。本文首先对证明不等式基本方法的概念进行说明，辅以举例说明方法的应用。其次对代数不等式证明方法的选择技巧进行解释说明，帮助学生掌握并灵活应用证明方法。再次对函数的性质、单调性、极值等多方面给予讨论。最后就是利用到分析法、归纳法对绝对值不等式的证明。

关键词 不等式 函数 代数 证明技巧

中图分类号：G633.6文献标识码：A

0绪论

可以发现代数不等式的证明在数学教材中占有很大的比例，不管是在初等数学，还是高等数学都能得到很好的体现。由于不等式证明方法的错综复杂、千变万化以及证明过程中思路不固定，导致学生对于不等式的研究要迟的多。解数学题实质上是把数学问题经过适当的加工、变换符合一定的模型樣式，从而使问题获解。代数不等式的基本证题法包括分析法与综合法﹑反证法，归纳法。分析法与综合法是古代希腊数学家﹑天文学家和机械技能的创始人欧多克斯（Eudexus，约公元前370年）创立的证题方法。

1证明不等式的基本方法

证明不等式就是根据不等式的性质，在所给定的数域内，来说明此不等式恒成立的过程。由于不等式的证明方法多种多样的，这里说的基本方法就是指那些在证明过程中，具有固定的思维程序和书写格式与步骤的证题方法。

1.1分析法

分析法是执果索因，即从结论出发，根据不等式的性质和有关的定理，一直推理到已知的不等式关系的证明方法（其中每一步均可逆）。

1.2综合法

综合法是由因导果。即由已知条件出发，或从被证明了的不等式出发，运用不等式的性质、法则等，推出所要证明的结论，称为综合法。

1.3比较法

用不等式概念，从两式的差是正数还是负数，来决定它们的大小;从两式的商是大于1还是小于1，来决定它们的大小的方法叫作比较法。即：欲证：只要证;或欲证只要证。

2不等式的证明技巧

由于不等式的证明方法错综复杂，千变万化，这里所说的证明技巧是指证明方法，思路不固定，证明时，可根据已知条件、解析式及不等式的特点，灵活应用的证明方法，称作证明技巧。

2.1放缩法

利用函数的单调性，不等式的传递性及已知不等式的知识，把不等式适当扩大（或缩小）较大（或较小）的一边的证明方法，称为放缩法。

2.1.1利用函数的单调性放缩

2.2代换法

根据徐利治先生的“关系映射反应原则”可知，解数学题实质上就是把数学问题经过适当加工、变换成为符合一定的模型样式，从而使问题获解。代换如下几种。

2.2.1和差代换法

对于任意实数，总有如下不等式成立。

2.2.2满足常数项代换法

当已知条件是三个或三个以上元素（项）之和时，代换必须应尽量满足常数。

下面分析不等式等号成立的条件：若个数，，，中有个数为零，则原不等式成立显然。反之若此个数中，至少有两个数异于零，不妨设，那么显然有，从而有，把他们带入的表达式，导出严格不等式。

参考文献

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[2] 孙转松.代数不等式的证明与技巧[J].连云港育学院报，2007（04）.

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